829. Орлов А.И. О новой парадигме прикладной математики // Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность. Тезисы Третьей всероссийской научной конференции; 27-28 сентября 2013 г. / Редкол.: Бажанов В.А. и др. – Москва, Центр стратегической конъюнктуры, 2013. – С.84–87.

Орлов Александр Иванович, д.т.н., д.э.н., к.ф.-м.н., профессор
Московский государственный технический университет  имени Н.Э. Баумана
Московский физико-технический институт,
ФГУП «Центральный научно-исследовательский институт машиностроения»

О новой парадигме прикладной математики

Философские предпосылки разработки математических методов и моделей в той или иной прикладной области (в экономике и управлении (менеджменте), при прогнозировании и предотвращении авиационных происшествий, управлении рисками при создании ракетно-космической техники и т.п.) заслуживают обсуждения. В докладе [1] мы исходили из того, что предназначенные для практического использования математические модели и основанные на них методы должны быть устойчивы к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок моделей. Требование устойчивости касается математических моделей, но само находится вне математики. Оно навязывается математикам извне. И достаточно сильно меняет оценку целесообразности тех или иных исследований. 
Обратим внимание на смену парадигм (в смысле Т. Куна [2]) в прикладной математике. Рассмотрим новую (XXI в.) парадигму математических методов исследования в сравнении со старой (середины XX в.). Основное внимание уделим вероятностно-статистическим методам исследования, методам анализа данных.
Во второй половине 1980-х гг. развернулось общественное движение по созданию профессионального объединения специалистов в области организационно-экономического и экономико-математического моделирования, эконометрики и статистики (кратко – статистиков). Аналоги - британское Королевское статистическое общество (основано в 1834 г.) и Американская статистическая ассоциация (создана в 1839 г.). В ходе организации ВСА были проанализированы состояние и перспективы развития рассматриваемой области научно-прикладных исследований и осознаны основы уже проявившейся к концу 1980-х гг. новой парадигмы прикладной математики, прежде всего в области организационно-экономического моделирования, эконометрики и статистики.
Типовые исходные данные в новой парадигме – объекты нечисловой природы (элементы нелинейных пространств, которые нельзя складывать и умножать на число, например, множества, бинарные отношения), а в старой – числа, конечномерные векторы, функции. Ранее для расчетов использовались разнообразные суммы, однако объекты нечисловой природы нельзя складывать, поэтому в новой парадигме применяется другой математический аппарат, основанный на расстояниях между объектами нечисловой природы и решении задач оптимизации.
Изменились постановки задач анализа данных и экономико-математического моделирования. Старая парадигма математической статистики исходит из идей начала ХХ в., когда К. Пирсон предложил четырехпараметрическое семейство распределений для описания распределений реальных данных. В это семейство как частные случаи входят, в частности, подсемейства нормальных, экспоненциальных, Вейбулла-Гнеденко, гамма-распределений. Сразу было ясно, что распределения реальных данных, как правило, не входят в семейство распределений Пирсона (об этом говорил, например, академик С.Н. Бернштейн в 1927 г. в докладе на Всесоюзном съезде математиков). Однако математическая теория параметрических семейств распределений (методы оценивание параметров и проверки гипотез) оказалась достаточно интересной, и именно на ней до сих пор основано преподавание во многих вузах. Итак, в старой парадигме основной подход к описанию данных - распределения из параметрических семейств, а оцениваемые величины – их параметры, в новой парадигме рассматривают произвольные распределения, а оценивают - характеристики и плотности распределений, зависимости, правила диагностики и др. Центральная часть теории – уже не статистика числовых случайных величин, а статистика в пространствах произвольной природы, т.е. нечисловая статистика [3].
В старой парадигме источники постановок новых задач - традиции, сформировавшиеся к середине ХХ века, а в новой - современные потребности анализа данных (XXI век), т.е. запросы практики. Конкретизируем это общее различие. В старой парадигме типовые результаты - предельные теоремы, в новой - рекомендации для конкретных объемов выборок. Изменилась роль информационных технологий – ранее они использовались только для расчета таблиц (информатика находилась вне математической статистики), теперь же они -  инструменты получения выводов (датчики псевдослучайных чисел, методы размножение выборок, в т.ч. бутстреп, и др.). Вид постановок задач приблизился к потребностям практики – от отдельных задач оценивания и проверки гипотез перешли к статистическим технологиям (технологическим процессам анализа данных). Выявилась важность проблемы «стыковки алгоритмов» - влияния выполнения предыдущих алгоритмов в технологической цепочке на условия применимости последующих алгоритмов. В старой парадигме эта проблема не рассматривалась, для новой – весьма важна.
Если в старой парадигме вопросы методологии моделирования практически не обсуждались, достаточными признавались схемы начала ХХ в., то в новой парадигме роль методологии (учения об организации деятельности) является основополагающей. Резко повысилась роль моделирования – от отдельных систем аксиом произошел переход к системам моделей. Сама возможность применения вероятностного подхода теперь – не «наличие повторяющегося комплекса условий» (реликт физического определения вероятности, использовавшегося до аксиоматизации теории вероятностей А.Н. Колмогоровым в 1930-х гг.), а наличие обоснованной вероятностно-статистической модели. Если раньше данные считались полностью известными, то для новой парадигмы характерен учет свойств данных, в частности, интервальных и нечетких. Изменилось отношение к вопросам устойчивости выводов – в старой парадигме практически отсутствовал интерес к этой тематике, в новой разработана развитая теория устойчивости (робастности) выводов по отношению к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок моделей. 
Выполнена рекомендация Учредительного съезда ВСА по созданию комплекта учебной литературы на основе новой парадигмы. Перечень изданий приведен в [4]. Предстоит большая работа по внедрению новой парадигмы прикладной математики в научные исследования и преподавание.

Литература
1. Орлов А.И. Философские основания устойчивого математического моделирования процессов управления промышленными предприятиями. - Философия математики: актуальные проблемы: Тезисы Второй международной научной конференции; 28-30 мая 2009 г. – М.: МАКС Пресс, 2009. – С.284-287.
2. Кун. Т. Структура научных революций. – М.: АСТ, 2009. – 317 с.
3. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование. Ч.1. Нечисловая статистика. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. 
4. Орлов А.И. Новая парадигма организационно-экономического моделирования, эконометрики и статистики // Вторые Чарновские Чтения. Материалы II международной научной конференции по организации производства. Москва, 7 – 8 декабря 2012 г. М.: НП «Объединение контроллеров», 2012. С. 116-120.